Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠， AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F(xiàn)分別是PC，CD的中點．

（Ⅰ）證明：CD⊥平面BEF；

（Ⅱ）設，

求k的值.

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）證明： .………………………2分

             PA⊥平面ABCD，AD⊥CD. ……………………………………………3分

. ………………………………………5分

∴ CD⊥平面BEF. ……………………………………………………………………6分                          

（Ⅱ）連結AC且交BF于H，可知H是AC中點，連結EH,

由E是PC中點,得EH∥PA,  PA⊥平面ABCD.

得EH⊥平面ABCD，且EH.…………………………………………8分

作HM⊥BD于M，連結EM，由三垂線定理可得EM⊥BD.

故∠EMH為二面角E—BD—F的平面角，故∠EMH=60⁰.……………………10分

∵ Rt△HBM∽Rt△DBF,

 故.

得,    得 .

在Rt△EHM中，  

得 ………………………………………………………12分

解法2：（Ⅰ）證明，以A為原點，

建立如圖空間直角坐標系.

則，，

設PA = k,則,

,.………………………………………………………2分

得.…………………………4分

有………………6分

(Ⅱ)…7分      .

  設平面BDE的一個法向量，

則    得   取……………10分                    由  ………………………………………11分

得 …………………12分