Question

已知函數f(x)=a-

b

|x|

(x≠0)．
（1）若函數f（x）是（0，+∞）上的增函數，求實數b的取值范圍；
（2）當b=2時，若不等式f（x）＜x在區間（1，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數g（x）若存在區間[m，n]（m＜n），使x∈[m，n]時，函數g（x）的值域也是[m，n]，則稱g（x）是[m，n]上的閉函數．若函數f（x）是某區間上的閉函數，試探求a，b應滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）先去絕對值，然后設x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，根據函數f（x）是（0，+∞）上的增函數，則f（x₁）＜f（x₂），建立關系式，化簡整理可求出b的取值范圍；
（2）若不等式f（x）＜x在區間（1，+∞）上恒成立，可轉化成a＜x+

2

x

在（1，+∞）上恒成立，求出不等式右邊的最小值即，使得a小于此最小值即可；
（3）設f（x）是區間[m，n]上的閉函數，則mn＞0且b≠0，討論m與n同正與同負兩種情形，以及討論b的正負，根據函數的單調性建立關系式，即可求出a與b滿足的條件．

解答：解：（1）當x∈（0，+∞）時，f(x)=a-

b

x

設x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，由f（x）是（0，+∞）上的增函數，則f（x₁）＜f（x₂）（2分）f(x1)-f(x2)=

b(x1-x2)

x1x2

＜0（3分）
由x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，+∞）知x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，所以b＞0，即b∈（0，+∞）（5分）
（2）當b=2時，f(x)=a-

2

|x|

＜x在x∈（1，+∞）上恒成立，即a＜x+

2

x

（6分）
因為x+

2

x

≥2

2

，當x=

2

x

即x=

2

時取等號，（8分）

2

∈(1，+∞)，所以x+

2

x

在x∈（1，+∞）上的最小值為2

2

．則a＜2

2

（10分）
（3）因為f(x)=a-

b

|x|

的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），
設f（x）是區間[m，n]上的閉函數，則mn＞0且b≠0（11分）
①若0＜m＜n
當b＞0時，f(x)=a-

b

|x|

是（0，+∞）上的增函數，則

f(m)=m f(n)=n

，
所以方程a-

b

x

=x在（0，+∞）上有兩不等實根，
即x²-ax+b=0在（0，+∞）上有兩不等實根，所以

a2-4b＞0 x1+x2=a＞0 x1•x2=b＞0

，即a＞0，b＞0且a²-4b＞0（13分）
當b＜0時，f(x)=a-

b

|x|

=a+

-b

x

在（0，+∞）上遞減，則

f(m)=n f(n)=m

，即

a- b m =n a- b n =m

⇒

a=0 mn=-b

，
所以a=0，b＜0（14分）
②若m＜n＜0
當b＞0時，f(x)=a-

b

|x|

=a+

b

x

是（-∞，0）上的減函數，所以

f(m)=n f(n)=m

，即

a+ b m =n a+ b n =m

⇒

a=0 mn=b

，
所以a=0，b＞0（15分）
當b＜0f(x)=a-

b

|x|

=a+

b

x

是（-∞，0）上的增函數，所以

f(m)=m f(n)=n

所以方程a+

b

x

=x在（-∞，0）上有兩不等實根，即x²+ax-b=0在（-∞，0）上有兩不等實根，
所以

a2+4b＞0 x1+x2=a＜0 x1•x2=-b＞0

即a＜0，b＜0且a²+4b＞0（17分）
綜上知：a=0，b≠0或a＜0，b＜0且a²+4b＞0或a＞0，b＞0且a²-4b＞0．
即：a=0，b≠0或ab＞0且a²-4|b|＞0

點評：本題主要考查了函數的單調性，以及函數恒成立和函數的值域，是一道綜合題，有一定的難度．