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如果函數f（x）在區間D上是“凸函數”，則對于區間D內任意的x₁，x₂，…，x_n，有

f(x1)+f(x2)+…+f(xn)

≤f（

x1+x2+…+xn

）成立．已知函數y=sinx在區間[0，π]上是“凸函數”，則在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是（　　）

A、

B、

C、

D、

分析：利用“凸函數”的定義得到恒成立的不等式，利用三角形的內角和為π，求出函數的最大值．

解答：解：∵y=sinx在區間[0，π]上是“凸函數”，
∴

sinA+sinB+sinC

≤sin

A+B+C

=sin

∴sinA+sinB+sinC≤

∴sinA+sinB+sinC的最大值是

故選D

點評：本題考查理解題中的新定義、并利用新定義求最值、考查三角形的內角和為π．

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•海珠區二模）已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（Ⅰ）如果函數g（x）的單調遞減區間為(-

，1)，求函數g（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數y=g（x）的圖象在點P（-1，1）處的切線方程；
（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•天河區三模）設f（x）是定義在區間（1，+∞）上的函數，其導函數為f'（x）．如果存在實數a和函數h（x），其中h（x）對任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f'（x）=h（x）（x²-ax+1），則稱函數f（x）具有性質P（a）．
（1）設函數f(x)=Inx+

b+2

x+1

(x＞1)，其中b為實數．
（i）求證：函數f（x）具有性質P（b）；
（ii）求函數f（x）的單調區間．
（2）已知函數g（x）具有性質P（2），給定x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，設m為實數，a=mx₁+（1-m）x₂，β=（1-m）x₁+mx₂，且a＞1，β＞1，若|g（a）-g（β）|＜|g（x₁）-g（x₂）|，求m取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•順義區二模）對于定義域為A的函數f（x），如果任意的x₁，x₂∈A，當x₁＜x₂時，都有f（x₁）＜f（x₂），則稱函數f（x）是A上的嚴格增函數；函數f（k）是定義在N^*上，函數值也在N^*中的嚴格增函數，并且滿足條件f（f（k））=3k．
（Ⅰ）判斷函數f（3^x）=2×3^x（x∈N）是否是N上的嚴格增函數；
（Ⅱ）證明：f（3k）=3f（k）；
（Ⅲ）是否存在正整數k，使得f（k）=2012，若存在求出k值；若不存在請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•順義區一模）對于定義域為A的函數f（x），如果任意的x₁，x₂∈A，當x₁＜x₂時，都有f（x₁）＜f（x₂），則稱函數f（x）是A上的嚴格增函數；函數f（k）是定義在N*上，函數值也在N*中的嚴格增函數，并且滿足條件f（f（k））=3k．
（Ⅰ）證明：f（3k）=3f（k）；
（Ⅱ）求f（3^k-1）（k∈N^*）的值；
（Ⅲ）是否存在p個連續的自然數，使得它們的函數值依次也是連續的自然數；若存在，找出所有的p值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•武進區模擬）函數f(x)=

ax2-bx-lnx，a＞0，f'（1）=0．
（1）①試用含有a的式子表示b；②求f（x）的單調區間；
（2）對于函數圖象上的不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函數圖象上存在點P（x₀，y₀）（其中x₀在x₁與x₂之間），使得點P處的切線l∥AB，則稱AB存在“伴隨切線”，當x0=

x1+x2

時，又稱AB存在“中值伴隨切線”．試問：在函數f（x）的圖象上是否存在兩點A、B，使得AB存在“中值伴隨切線”？若存在，求出A、B的坐標；若不存在，說明理由．

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