Question

【題目】若直線與曲線滿足下列兩個條件：（）直線在點處與曲線相切； （）曲線在點附近位于直線的兩側，則稱直線在點處“切過”曲線．下列命題正確的是__________．（寫出所有正確命題的編號）

①直線在點處“切過”曲線；

②直線在點處“切過”曲線；

③直線在點處“切過”曲線；

④直線在點處“切過”曲線．

Answer 1

【答案】①③

【解析】①∵， ，

∴，

∴曲線在點處切線為，

當時， ，

當時， ，

即曲線在點附近位于直線的兩側，①正確；

②設，

，

當時， ， 在是減函數，

當時， ， 在是增函數，

∴，

即在上恒成立，

∴曲線總在直線下方，不合要求，②不正確；

③∵， ，

∴，

∴曲線在點處切線為，

設， ，

∴是減函數，

又∵，

∴當時， ，即，

曲線在切線的下方，

當， ，即，

曲線在切線的上方，③正確；

④設， ，

當時， ，

當時， ，函數在區間上是減函數，

當時， ，函數在區間上是增函數，

∴，

即在上是恒成立，

∴總在直線上方，不合要求，④不正確．

綜上，正確命題有①③．