Question

已知在△ABC中，A＞B，且tanA與tanB是方程x²-5x+6=0的兩個根．
（Ⅰ）求tan（A+B）的值；
（Ⅱ）若AB=5，求BC的長．

Answer 1

分析：先由根系關系得出tanA與tanB和與積，（I）由正切的和角公式代入求值；
（II）由A＞B，以及A，B，A+B的正切值，解出相應角的正弦值，由正弦定理求線段BC的長．

解答：解：（Ⅰ）由所給條件，方程x²-5x+6=0的兩根tanA=3，tanB=2．（2分）
∴tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

（4分）
=

2+3

1-2×3

=-1（6分）
（Ⅱ）∵A+B+C=180°，∴C=180°-（A+B）．
由（Ⅰ）知，tanC=-tan（A+B）=1，
∵C為三角形的內角，∴sinC=

2

2

（8分）
∵tanA=3，A為三角形的內角，∴sinA=

3

10

，（10分）
由正弦定理得：

AB

sinC

=

BC

sinA

（11分）
∴BC=

5

2 2

×

3

10

=3

5

．（12分）

點評：考查的考點是一元二次方程的根的分布與同角三角函數的關系以及兩角和的正切公式，正弦定理．知識涉及較多，綜合性強．