Question

【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的菱形,側面底面,,,是中點,為的中點,點在側棱上(不包括端點).

(1)求證：

(2)是否存在點,使與平面所成角的正弦值為,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)存在，.

【解析】

（1）根據等腰三角形三線合一的性質可證得，，由線面垂直判定定理可證得平面，由線面垂直性質證得結論；

（2）由面面垂直性質可知平面，則以為原點建立空間直角坐標系；設，利用向量線性運算可求得點坐標；根據線面角的向量求法可構造方程求得，進而得到結果.

（1）連接

，為中點

在菱形中， 為等邊三角形

平面， 平面

平面

（2）平面平面，平面平面，

平面 ，，又

則以為坐標原點，可建立如下圖所示空間直角坐標系

則，，，

假設存在點滿足題意，設，

則

，，

設平面的法向量為

，令，則，

設與平面所成角為

則，解得：或（舍）

存在點，使得與平面所成角的正弦值為，此時