Question

設△ABC三個內角A、B、C所對的邊分別為a，b，c. 已知C＝，acosA=bcosB．
（1）求角A的大小；
（2）如圖，在△ABC的外角∠ACD內取一點P，使得PC＝2．過點P分別作直線CA、CD的垂線PM、PN，垂足分別是M、N．設∠PCA＝α，求PM＋PN的最大值及此時α的取值．

Answer 1

（1）A＝,（2）2．

試題分析：（1）解三角形問題，一般利用正余弦定理進行變角轉化. 由acosA＝bcosB及正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，又A∈(0，π)，B∈(0，π)，所以有A＝B或A＋B＝．又因為C＝，得A＋B＝，與A＋B＝矛盾，所以A＝B，因此A＝．（2）求PM＋PN的最大值,需先將PM＋PN表示為α的函數解析式. 在Rt△PMC中，PM＝PC·sin∠PCM＝2sinα；在Rt△PNC中，PN＝PC·sin∠PCN＝ PC·sin(π－∠PCB) ＝2sin[π－(α＋)]＝2sin (α＋)，α∈(0，)，所以，PM＋PN＝2sinα＋2sin (α＋)＝3sinα＋cosα＝2sin(α＋).因為α∈(0，)，所以α＋∈(，)，從而有sin(α＋)∈(，1]，即2sin(α＋)∈(，2]．于是，當α＋＝，即α＝時，PM＋PN取得最大值2．
解（1）由acosA＝bcosB及正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，
即sin2A＝sin2B，又A∈(0，π)，B∈(0，π)，
所以有A＝B或A＋B＝．                 3分             
又因為C＝，得A＋B＝，與A＋B＝矛盾，
所以A＝B，因此A＝．          6分
（2）由題設，得
在Rt△PMC中，PM＝PC·sin∠PCM＝2sinα；
在Rt△PNC中，PN＝PC·sin∠PCN＝ PC·sin(π－∠PCB)
＝2sin[π－(α＋)]＝2sin (α＋)，α∈(0，).      8分
所以，PM＋PN＝2sinα＋2sin (α＋)＝3sinα＋cosα＝2sin(α＋).     12分
因為α∈(0，)，所以α＋∈(，)，從而有sin(α＋)∈(，1]，
即2sin(α＋)∈(，2]．
于是，當α＋＝，即α＝時，PM＋PN取得最大值2．     16分