Question

（13分）已知，A是拋物線y2＝2x上的一動點，過A作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線分別切圓于EF兩點，交拋物線于M．N兩點，交y軸于B．C兩點

    （1）當A點坐標為(8，4)時，求直線EF的方程；

    （2）當A點坐標為(2，2)時，求直線MN的方程；

    （3）當A點的橫坐標大于2時，求△ABC面積的最小值。

 

Answer 1

【答案】

 

（1）7x＋4y－8＝0

（2）3x＋2y－2＝0

（3）8

【解析】

（1）∵DEFA四點共圓

EF是圓（x－1）2＋y2＝1及(x－1)(x－8)＋y(y－4)＝0的公共弦

∴EF的方程為7x＋4y－8＝0………………………………………………4分

（2）設AM的方程為y－2＝k(x－2)

即kx－y＋2－2k＝0與圓(x－1)2+y2＝1相切得

＝1

∴k＝

把y－2＝（x－2）代入y2＝2x得M(，)，而N(2，－2)

∴MN的方程為3x＋2y－2＝0………………………………………………8分

（3）設P(x0，y0)，B(0，b)，C(0，c)，不妨設b＞c，

直線PB的方程為y－b＝，

即(y0－b)x－x0y＋x0b＝0

又圓心（1，0）到PB的距離為1，所以＝1，故

（y0－b）2＋x＝（y0－b）2＋2x0b(y0－b)+ xb2

又x0＞2，上式化簡得（x0－2）b2＋2y0b－x0＝0

同理有（x0－2）c2＋2y0c－x0＝0

故b，c是方程（x0－2）t2＋2y0t－x0＝0的兩個實數根

所以b＋c＝，bc＝，則(b－c)2＝

因為P(x0，y0)是拋物線上的點，所以有y＝2x0，則

(b－c)2＝，b－c＝，

∴S△PBC＝(b－c)x0＝＝x0－2＋＋4≥2＋4＝8

當（x0－2）2＝4時，上式取等號，此時x0＝4，y＝±2

因此S△PBC的最小值為8…………………………………………………………13分