Question

【題目】給定橢圓：，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“伴橢圓”，若橢圓的一個焦點為，其短軸上一個端點到的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作橢圓的“伴隨圓”的動弦，過點、分別作“伴隨圓”的切線，設兩切線交于點，證明：點的軌跡是直線，并寫出該直線的方程；

（3）設點是橢圓的“伴隨圓”上的一個動點，過點作橢圓的切線、，試判斷直線、是否垂直？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）見解析；

（3）見解析.

【解析】

（1）由題意可得，，則，從而得到橢圓C的方程；

（2）根據題意，求得，分直線的斜率存在與不存在兩種情況，將斜率存在時求得的直線，對斜率不存在時求得的點P的坐標進行檢驗，最后求得結果.

（3）討論當P在直線上時，設出直線方程，聯立橢圓方程，消去，得到關于的方程，運用判別式為0，化簡整理，得到關于的方程，求出連根之積，判斷是否為，即可判斷垂直.

（1）依題意得：，所以，

所以橢圓方程為：；

（2）由題意可得伴隨圓的方程為，

點為，所以，

當過點P的直線斜率不存在時，則，

可求得，此時，

當過點P的直線斜率存在時，設直線方程為：，

設，，

則經過各自的切線方程為：，

把代入，解得，

消，得到，

當不存在時，也滿足方程，

所以點的軌跡是一條直線，且方程為；

（3）當中有一條無斜率時，不妨設無斜率，

因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為：，此時經過點或，

則直線的方程為：，經檢驗，滿足垂直關系；

當斜率都存在時，設點，

因為點P在伴隨圓上，所以有，

設經過點，且與橢圓只有一個公共點的直線方程為：，

聯立橢圓方程，

，消化簡得，

因為相切，所以，即：，

又因為，

所以，所以，

所以直線，

從而得證.