Question

根據函數單調性的定義，證明函數f (x)=－x³+1在(－∞，+∞)上是減函數．

Answer 1

證明見解析．

本小題考查函數單調性的概念，不等式的證明，以及邏輯推理能力．滿分10分．
證法一：在(－∞，+∞)上任取x₁，x₂且x₁<x₂                           ——1分
則f (x₂) －f (x₁) == (x₁－x₂) ()                    ——3分
∵ x₁<x₂，∴ x₁－x₂<0．                                           ——4分
當x₁x₂<0時，有= (x₁+x₂) ²－x₁x₂>0；                     ——6分
當x₁x₂≥0時，有>0；
∴f (x₂)－f (x₁)= (x₁－x₂)()<0．                         ——8分
即 f (x₂) < f (x₁)，所以，函數f(x)=－x₃+1在(－∞，+∞)上是減函數．     ——10分
證法二：在(－∞，+∞)上任取x₁，x₂，且x₁<x₂，                      ——1分
則f (x₂)－f (x₁)=x－x= (x₁－x₂) ()．                  ——3分
∵x₁<x₂，∴x₁－x₂<0．                                          ——4分
∵x₁，x₂不同時為零，∴x＋x>0．
又∵x＋x>(x＋x)≥|x₁x₂|≥－x₁x_2。∴>0，
∴ f (x₂)－f (x₁) = (x₁－x₂) ()<0．                     ——8分
即f (x₂) < f (x₁)．所以，函數f (x)=－x³+1在(－∞，+∞)上是減函數．       ——10分