Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面都是菱形， ， ．

（1）求證： ；

（2）若， 的中點(diǎn)為，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】試題分析：證明線線垂可尋求證明線面垂直，取取中點(diǎn)，連接， ，利用條件證明平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以， ， 為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面和平面 的法向量，利用向量夾角公式求出二面角的余弦值.

試題解析：

（1）證明：連接， ，則和皆為正三角形．

取中點(diǎn)，連接， ，則， ，從而平面， ．

（2）解：由（1）知， ，又滿足所以， 平面．

如圖所示，分別以， ， 為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則， ， ， ， ， ，

設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?/span>， ，

所以取．

設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?/span>， ，

同理可取．

則，因?yàn)槎�面�?/span>為鈍角，

所以二面角的余弦值為．