Question

（本小題滿分14分） 已知雙曲線的離心率為，右準線方程為（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）設直線是圓上動點處的切線，與雙曲線交于不同的兩點，證明的大小為定值.

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅱ）略

解析:

：【解法1】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程

的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力．

（Ⅰ）由題意，得，解得，

∴，∴所求雙曲線的方程為.

（Ⅱ）點在圓上，圓在點處的切線方程為，化簡得.由及得

，

∵切線與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且，∴，

且，設A、B兩點的坐標分別為，

則，∵，且

，

.∴ 的大小為.

【解法2】（Ⅰ）同解法1.

（Ⅱ）點在圓上，

圓在點處的切線方程為，

化簡得.由及得

  ①     ②

∵切線與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且，∴，設A、B兩點的坐標分別為，則，∴，∴ 的大小為.（∵且，∴，從而當時，方程①和方程②的判別式均大于零）.