Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）當時，，成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）設曲線，點，為該曲線上不同的兩點.求證：當時，直線的斜率大于-1.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）對函數進行求導得，對分為和兩種情形，討論導數與0的關系，即可得單調性；（Ⅱ）利用分離參數的思想，原不等式等價于，成立，令，利用導數求出其最小值即可；（Ⅲ）不妨設且，要證明直線AB斜率大于，即證，，利用導數證明其單調遞增即可.

詳解：（Ⅰ） ，

若，，

無單調遞增區間.

若，由，

當，；

當，.

綜上所述：當時，，無單調遞增區間；

當時，，.

（Ⅱ）當，時

，

因為，成立，

即，成立，

即，成立，

設，

，

，

，

故當時，有極小值，此極小值即為最小值，

因為,成立，所以，因此，

即的取值范圍為.

（Ⅲ）不妨設且，要證明直線AB斜率大于，即證，即證，

由已知，其中，，

設，

則，

，因此當時，，

即，所以原命題得證.