Question

【題目】已知函數.

(1)討論的單調性；

(2)當時，設的兩個極值點為，，證明:.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）證明見解析。

【解析】

（1）利用導函數分子的判別式分情況討論，即可，注意參數時，函數圖像開口也會發生相應的變化。（2）利用對數平均不等式，證明即可。

解：（1），，

對于一元二次方程， ，

①當時，即時，無解或一個解，

有時，，此時 在上單調遞增，

②當時，即時，有兩個解，

其解為， 當時，，故在 及時，；且時，，即在及上單調遞增，在上單調遞減，當時，一個實根小于0，一個實根大于0，所以在時，，在，，即在上單調遞增，在上單調遞減。

綜上所述：即時， 在上單調遞增；

當時，即在及上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減。

（2）當時，，，又因為的兩個極值點為，，則，是方程的兩實數根，設。

又因為，故要證，

只需證，

只需證，

只需證，

下面證明不等式，不妨設，要證，即證，即證，令，設，則，所以，函數在上遞減，而，因此當 時，恒成立，即成立，即成立，

所以，得證。