Question

已知關于x的不等式|x-2|+|x-3|＜a
（Ⅰ）當a=2時，解不等式；
（Ⅱ）如果不等式的解集為空集，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，|x-2|+|x-3|＜2，通過對x的范圍分類討論，去掉絕對值符號，轉化為一次不等式來解即可；
（Ⅱ）利用分段函數y=|x-2|+|x-3|=

2x-5(x≥3) 1(2≤x≤3) 5-2x(x＜2)

，可求得y_min，只需a≤y_min即可求得實數a的取值范圍．

解答：解（Ⅰ）原不等式|x-2|+|x-3|＜2，
當x＜2時，原不等式化為5-2x＜2，解得x＞

3

2

，
∴

3

2

＜x＜2；
當2≤x≤3時，原不等式化為1＜2，
∴2≤x≤3；
當x＞3時，原不等式化為2x-5＜2，解得x＜

7

2

，
∴3＜x＜

7

2

；
綜上，原不等式解集為{x|

3

2

＜x＜

7

2

}；_{-----------------}（5分）
（Ⅱ）y=|x-2|+|x-3|=

2x-5(x≥3) 1(2≤x≤3) 5-2x(x＜2)

，
當x≥3時，y≥1；
當2≤x≤3時，y=1；
當x＜2時，y＞1，
綜上，y≥1，原問題等價于a≤[|x-2|+|x-3|]_min
∴a≤1．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，通過對x的范圍分類討論，去掉絕對值符號是解決問題的關鍵，屬于中檔題．