Question

.數列滿足：，且
（1）設，證明數列是等差數列；（2）求數列、的通項公式；
（3）設，為數列的前項和，證明.

Answer 1

(1) 見解析； (2)  ；    (3)證明:見解析。

(1) 由,
從而證明是等差數列.
(2)在（1）的基礎上，可先求出的通項公式，再根據求出的通項公式.
（3）先求出
下面解題的關鍵是確定,
然后再考慮數學歸納法進行證明即可.
(1) ,
為等差數列                   
(2)由(1),從而     
(3)
,當時,,不等式的左邊=7,不等式成立
有當時,                      
故只要證,           
如下用數學歸納法給予證明:
①當時,,時,不等式成立;
②假設當時,成立
當時,
只需證: ,即證:     
令,則不等式可化為:
即
令,則
在上是減函數
又在上連續, ,故
當時,有
當時,所證不等式對的一切自然數均成立
綜上所述,成立.