Question

平面直角坐標系xOy中，已知⊙M經過點F₁（0，﹣c），F₂（0，c），A（c，0）三點，其中c＞0．
（1）求⊙M的標準方程（用含c的式子表示）；
（2）已知橢圓（其中a²﹣b²=c²）的左、右頂點分別為D、B，⊙M與x軸的兩個交點分別為A、C，且A點在B點右側，C點在D點右側．
①求橢圓離心率的取值范圍；
②若A、B、M、O、C、D（O為坐標原點）依次均勻分布在x軸上，問直線MF₁與直線DF₂ 的交點是否在一條定直線上？若是，請求出這條定直線的方程；若不是，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設⊙M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則由題設，得解得
∴M的方程為，
∴M的標準方程為；
（2）①⊙M與x軸的兩個交點，，
又B（b，0），D（﹣b，0），
由題設即
所以
解得，即．
所以橢圓離心率的取值范圍為；
 ②由（1），得．
由題設，得．
∴，．
∴直線MF₁的方程為，①
直線DF₂的方程為．②
由①②，得直線MF₁與直線DF₂的交點，易知為定值，
∴直線MF₁與直線DF₂的交點Q在定直線上．