Question

【題目】已知函數 若關于的不等式的解集非空，且為有限集，則實數的取值集合為___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

利用導數，研究的性質和圖像；利用換元法，結合二次不等式的解集，結合的函數圖像，即可分類討論求得.

當時，，則，令，解得，

容易得在區間單調遞減，在區間單調遞增，

且在時，取得極小值，即；且時，；

當時，，則，令，解得，

容易得在區間單調遞增，在區間單調遞減，

且在時，取得極大值，即；且時，；

故的模擬圖像如下所示：

綜上所述：的值域為.

令，則，其，對稱軸為：

當時，顯然關于的二次不等式解集為空集，不滿足題意；

當，即或時，

若，顯然關于的二次不等式的解集為，又，

數形結合可知，此時關于的原不等式解集為空集，不滿足題意；

若，關于的二次不等式的解集為，又，

數形結合可知，此時關于的原不等式解集為，滿足題意；

當，即或時，

令，解得，

顯然，故此時關于的不等式的解集為，

數形結合可知，要滿足題意，只需或.

即，解得，滿足或；

或，解得，不滿足或，舍去；

綜上所述，要滿足題意，則或.

故答案為：.