Question

設函數f(x)=

3

2

-

3

sin2ωx-sinωxcosωx(ω＞0)，且y=f（x）的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為

π

4

（l）求ω的值；
（2）將函數y=f（x）圖象向左平移

π

3

個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求y=g（x）在區間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的三角函數公式與輔助角公式對函數進行化簡，得f（x）=-sin（2ωx-

π

3

）．由題意得函數的周期為T=4×

π

4

=π，利用三角函數的周期公式加以計算，可得ω的值；
（2）根據函數圖象平移的公式，得到g（x）=f（x+

π

3

）=-sin（2x+

π

3

），再由x∈[0，

π

2

]利用正弦函數的圖象與性質，可得g（x）在區間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）函數f（x）=

3

2

-

3

sin²ωx-sinωxcosωx
=

3

2

-

3

•

1-cos2ω

2

-

1

2

sin2ωx=

3

2

cos2ω-

1

2

sin2ωx=-sin（2ωx-

π

3

）．
∵y=f（x）的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為

π

4

，
∴函數的周期T=4×

π

4

=π，根據ω＞0，得

2π

2ω

=π，解得ω=1；
（2）由（1）得f（x）=-sin（2x-

π

3

），
∴y=f（x）圖象向左平移

π

3

個單位，得到y=f（x+

π

3

）=-sin[2（x+

π

3

）-

π

3

]=-sin（2x+

π

3

）．
由此可得g（x）=-sin（2x+

π

3

），
∵x∈[0，

π

2

]，可得2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴當2x+

π

3

=

π

2

即x=

π

12

時，sin（2x+

π

3

）的最大值為1；
當2x+

π

3

=

4π

3

即x=

π

2

時，sin（2x+

π

3

）的最小值為-

3

2

．
因此g（x）=-sin（2x+

π

3

）的最小值為g（

π

12

）=-1；最大值為g（

π

2

）=

3

2

．

點評：本題給出正弦型三角函數的圖象滿足的條件，求ω的值并依此求g（x）的最小值和最大值．著重考查了三角恒等變換公式、三角函數周期公式和正弦函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．