Question

選做題（請考生在以下三個小題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
A．（選修4-4坐標系與參數方程）若M，N分別是曲線ρ=2cosθ和ρsin(θ-

π

4

)=

2

2

上的動點，則M，N兩點間的距離的最小值是

2

-1

．
B．（選修4-5 不等式選講）若不等式|x+

1

x

|＞|a-2|+1對于一切非零實數x均成立，則實數a的取值范圍為

1＜a＜3

．
C．（選修4-1 幾何證明選講）（幾何證明選做題）如圖，圓O的割線PBA過圓心O，弦CD交AB于點E，且△COE～△PDE，PB=OA=2，則PE的長等于

3

．

Answer 1

分析：A、可以先將極坐標方程化為直角坐標方程，M、N是直線與圓上的兩個動點，最小距離為圓心到直線的距離減去半徑即可；
B、利用絕對值以及基本不等式求出|x+

1

x

|的范圍，表達式轉化為關于a的絕對值不等式，求出a的范圍．
C、由已知中OA=2，我們可得圓的半徑為2，由相交弦定理及三角形相似的性質，我們可以得到AF•BF=OF•PF，結合PB=OA=2，求出BF長，進而即可求出PF的長．

解答：解：A、曲線ρ=2cosθ和ρsin(θ-

π

4

)=

2

2

可化為直角坐標方程為：x-y+1=0與（x-1）²+y²=1
∴M、N在直線與圓心（1，0）半徑為1的圓上
圓心（1，0）到直線的距離d=

|2|

2

=

2

∴M，N兩點間的距離的最小值dmin=

2

-1 
故答案為：

2

- 1
B、∵|x+

1

x

|≥2，∴|a-2|+1＜2，
即|a-2|＜1，解得1＜a＜3．
實數a的取值范圍為：（1，3）；
故答案為：1＜a＜3．
C、∵PB=OA=2，
∴OC=OB=2
由相交弦定理得：DF•CF=AF•BF
又∵△COF∽△PDF，
∴DF•CF=OF•PF
即AF•BF=OF•PF
即（4-BF）•BF=（2-BF）•（2+BF）
解得BF=1
故PF=PB+BF=3
故答案為：3．

點評：本題考查極坐標與直角坐標之間的轉化，點到直線的距離，絕對值不等式的解法，恒成立問題的成立方法，以及圓與三角形相關知識．畫出計算能力，轉化思想．