Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn= n2+ n（n∈N*），數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為4的正項(xiàng)等比數(shù)列，且2b2 ， b3﹣3，b2+2成等差數(shù)列． （Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令cn=anbn（n∈N*），求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn= n2+ n（n∈N*），

∴a1=S1= =5，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（ ）﹣[ ]

=3n+2，

當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，

∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n+2．

∵數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為4的正項(xiàng)等比數(shù)列，且2b2，b3﹣3，b2+2成等差數(shù)列，

∴ ，解得q=2．

∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=4×2n﹣1=2n+1．

（Ⅱ）∵cn=anbn=（3n+2）2n+1=（6n+4）2n，

∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和：

Tn=10×2+16×22+22×23+…+（6n+4）×2n，①

2Tn=10×22+16×23+22×23+…+（6n+4）×2n+1，②

①﹣②，得：

﹣Tn=20+6（22+23+…+2n）﹣（6n+4）×2n+1

=20+6× ﹣（6n+4）×2n+1

=﹣4﹣（6n﹣2）×2n+1，

∴Tn=（6n﹣2）×2n+1+4

【解析】（Ⅰ）由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn= n2+ n（n∈N*），得到a1=S1=5，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=3n+2，由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；由數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為4的正項(xiàng)等比數(shù)列，且2b2，b3﹣3，b2+2成等差數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列性質(zhì)列出方程，求出公比，由此能求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．（Ⅱ）由cn=anbn=（3n+2）2n+1=（6n+4）2n，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．