Question

（本小題滿分12分）
已知，過點作直線與拋物線交于兩點，若兩點縱坐標之積為.
(1)求拋物線方程；
(2)斜率為的直線不經過點且與拋物線交于
(Ⅰ)求直線在軸上截距的取值范圍；
(Ⅱ)若分別與拋物線交于另一點，證明：交于一定點.

Answer 1

解：（1）設兩交點坐標分別為，，因直線經過點，故有
，即，化簡得
，易知
，                                ………4分
即拋物線方程為
（2）(Ⅰ)將直線方程代入得
，由得，
又斜率為1經過點的直線截距為，
于是直線在軸上截距的取值范圍是          ………8分
(Ⅱ)設的坐標分別為，
則直線的斜率，
同理知直線的斜率分別為
于是由三點共線得，
化簡得                         ①
以替換得                 ②
同理由三點共線得
再由及共線分別得到
                             ③
                             ④
將①②式分別代入③④式得


易知，即與交于點.             ………12分

略