Question

甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止．設甲在每局中獲勝的概率為

2

3

，乙在每局中獲勝的概率為

1

3

，且各局勝負相互獨立，求比賽停止時已打局數ξ的期望Eξ．

Answer 1

分析：由題意比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止，所以隨機變量ξ的所有可能的取值為2，4，6，利用隨機變量的定義及獨立事件同時發生的概率公式求出每一個隨機變量取值時對應的隨機事件的概率，在有離散型隨機的期望公式求出期望．

解答：解：依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6，
設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為(

2

3

)2+(

1

3

)2=

5

9

．
若該輪結束時比賽還將繼續，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響．從而有P(ξ=2)=

5

9

，P(ξ=4)=(

4

9

)(

5

9

)=

20

81

，P(ξ=6)=(

4

9

)2=

16

81

，
故Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．

點評：此題屬于隨機變量的基本題型．重在考查學生對于題意的準確理解，以及對于隨機變量的定義的理解及獨立事件及其公式的準確理解及應用，此外還考查了期望的定義．