Question

（本小題滿分14分）

已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內切圓半徑為．記為以曲線與坐標軸的交點為頂點的橢圓．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線．是上異于橢圓中心的點．

（1）若（為坐標原點），當點在橢圓上運動時，求點的軌跡方程；

（2）若是與橢圓的交點，求的面積的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）（1）

（2）

解析:

（Ⅰ）由題意得又，解得，．

因此所求橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）（1）假設所在的直線斜率存在且不為零，設所在直線方程為

，．

解方程組得，，

所以．

設，由題意知，

所以，即，

因為是的垂直平分線，所以直線的方程為，即，

因此，

又，所以，故．

又當或不存在時，上式仍然成立．

綜上所述，的軌跡方程為．

（2）當存在且時，由（1）得，，

由解得，，

所以，，．

解法一：由于

，

當且僅當時等號成立，即時等號成立，

此時面積的最小值是．

當，．

當不存在時，．

綜上所述，的面積的最小值為．

解法二：因為，

又，，

當且僅當時等號成立，即時等號成立，

此時面積的最小值是．

當，．

當不存在時，．

綜上所述，的面積的最小值為．