Question

如圖所示是一個幾何體的直觀圖、正視圖、俯視圖、側視圖（其中正視圖為直角梯形，俯視圖為正方形，側視圖為直角三角形，尺寸如圖所示）．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）證明：BD∥平面PEC；
（3）若G為BC上的動點，求證：AE⊥PG．

Answer 1

（1）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA=4

2

，BE=2

2

，AB=AD=CD=CB=4，
∴V_P-ABCD=

1

3

PA×S_ABCD=

1

3

×4

2

×4×4=

64 2

3

．
（2）證明：連接AC交BD于O點，
取PC中點F，連接OF，
∵EB∥PA，且EB=

1

2

PA，
又OF∥PA，且OF=

1

2

PA，
∴EB∥OF，且EB=OF，
∴四邊形EBOF為平行四邊形，
∴EF∥BD．
又EF?平面PEC，BD?平面PEC，所以BD∥平面PEC．
（3）連接BP，∵

EB

AB

=

BA

PA

=

1

2

，∠EBA=∠BAP=90°，
∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA=∠BEA，
∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°，
∴PB⊥AE．
又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，
∴AE⊥平面PBG，∴AE⊥PG．