Question

【題目】已知函數，．

(Ⅰ)當時，證明：；

(Ⅱ)的圖象與的圖象是否存在公切線（公切線：同時與兩條曲線相切的直線）？如果存在，有幾條公切線，請證明你的結論．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數是2條，證明見解析

【解析】

（Ⅰ）當x＞0時，設h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，設l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，分別求得導數和單調性、最值，即可得證；

（Ⅱ）先確定曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數，設出切點坐標并求出兩個函數導數，根據導數的幾何意義列出方程組，先化簡方程得lnm﹣1．分別作出y＝lnx﹣1和y的函數圖象，通過圖象的交點個數來判斷方程的解的個數，即可得到所求結論．

（Ⅰ）當x＞0時，設h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，

h′（x）1，當x＞1時，h′（x）＜0，h（x）遞減；0＜x＜1時，h′（x）＞0，h（x）遞增；

可得h（x）在x＝1處取得最大值﹣1，可得h（x）≤﹣1＜0；

設l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，

l′（x）＝ex﹣1，當x＞0時，l′（x）＞0，l（x）遞增；

可得l（x）＞l（0）＝1＞0，

綜上可得當x＞0時，g（x）＜x＜f（x）；

（Ⅱ）曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數是2，證明如下：

設公切線與g（x）＝lnx，f（x）＝ex的切點分別為（m，lnm），（n，en），m≠n，

∵g′（x），f′（x）＝ex，

可得，化簡得（m﹣1）lnm＝m+1，

當m＝1時，（m﹣1）lnm＝m+1不成立；

當m≠1時，（m﹣1）lnm＝m+1化為lnm，

由lnx1，即lnx﹣1．

分別作出y＝lnx﹣1和y的函數圖象，

由圖象可知：y＝lnx﹣1和y的函數圖象有兩個交點，

可得方程lnm有兩個實根，

則曲線y＝f（x），y＝g（x）公切線的條數是2條．