Question

如圖所示，四邊形ABCD為矩形，BC⊥平面ABE，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（1）設點M為線段AB的中點，點N為線段CE的中點．求證：MN∥平面DAE；
（2）求證：AE⊥BE．

Answer 1

【答案】分析：（1）先取DE的中點P，利用N，P為中點，可以推出PN∥DC，且PN=DC，再利用四邊形ABCD是矩形，點M為線段AB的中點，可以推出
AM∥DC，且AM=DC，故有PN∥AM，且PN=AM，⇒四邊形AMNP是平行四邊形，⇒MN∥AP即可證：MN∥平面DAE；
（2）先利用BC⊥平面ABE⇒AE⊥BC，再利用BF⊥平面ACE⇒AE⊥BF，可以證得AE⊥平面BCE，進而可證AE⊥BE．
解答：證明：（1）取DE的中點P，連接PA，PN，
因為點N為線段CE的中點，
所以PN∥DC，且PN=DC，
又四邊形ABCD是矩形，點M為線段AB的中點，
所以AM∥DC，且AM=DC，
所以PN∥AM，且PN=AM，
故四邊形AMNP是平行四邊形，
所以MN∥AP．
而AP?平面DAE，MN?平面DAE，
所以MN∥平面DAE．
（2）因為BC⊥平面ABE，AE?平面ABE，
所以AE⊥BC，
又BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，
所以AE⊥BF，
又BF∩BC=B，
所以AE⊥平面BCE．
又BE?平面BCE，
所以AE⊥BE．
點評：本題考查線面平行和線線垂直．在證明線面平行時，其常用方法是在平面內找已知直線平行的直線．當然也可以用面面平行來推導線面平行．