Question

（本題滿分13分）如圖，在直角坐標系中，O為坐標原點，直線軸于點， 動點到直線的距離是它到點的距離的2倍．

（I）求點的軌跡方程；
（II）設點為點的軌跡與軸正半軸的交點，直線交點的軌跡于，兩點（，與點不重合），且滿足，動點滿足，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

（I）
（II）

(1)先求出點D（-1，0），設點M（）,根據動點到直線的距離是它到點的距離的2倍，建立關于x,y的方程，然后化簡整理可得所求動點M的軌跡方程.
（2）按斜率存在和斜率不存在兩種情況進行討論.當直線EF的斜率不存在時，O、P、K三點共線，直線PK的斜率為0.然后再設EF的方程它與橢圓方程聯立消y后得關于x的一元二次方程，然后根據，K點坐標為（2，0）
可得,再借助直線方程和韋達定理建立m,b的方程，從而用m表示b,再代入直線方程可求出定點坐標.然后把KP的斜率表示成關于m的函數，利用函數的方法求其范圍.
（1）依題意知，點C（－4，0），由 得點D（－1，0）
設點M（），則：
整理得：
動點M的軌跡方程為
（2）當直線EF的斜率不存在時，由已知條件可知，O、P、K三點共線，直線PK的斜率為0.
當直線EF的斜率存在時，可設直線EF的方程為代入 ，整理
得
設
 
，K點坐標為（2，0）
，代入整理得

解得：
當時，直線EF的方程為恒過點，與已知矛盾，舍去.
當時，
設，由 知

直線KP的斜率為
當時，直線KP的斜率為0， 符合題意
當時，
時取“=”）或≤－時取“=”）
或
綜合以上得直線KP斜率的取值范圍是.