Question

（08年舞陽一高四模理）（12分） 設a≥0，f (x)=x－1－ln² x＋2a ln x（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0.＋∞）內的單調性并求極值；

（Ⅱ）求證：當x>1時，恒有x>ln²x－2a ln x＋1.

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：根據求導法則有，

故，

于是，

列表如下：

		2
		0
		極小值

故知在內是減函數，在內是增函數，所以，在處取得極小值．

（Ⅱ）證法（一）：由知，的極小值．

于是由上表知，對一切，恒有．

從而當時，恒有，故在內單調增加．

所以當時，，即．

故當時，恒有．

證法（二）：令G(x)= （ ）

則

再令H(x)=

則

當時，H(x)為遞減函數，當時，H(x)為遞增函數

所以H(x)在x=2時取最小值為H(2)=既

所以G(x)在為遞增函數

既故當時，恒有．