Question

如圖，已知橢圓C：

x2

36

+

y2

20

=1的左頂點，右焦點分別為A，F，右準線為l，N為l上一點，且在x軸上方，AN與橢圓交于點M．
（1）若AM=MN，求證：AM⊥MF；
（2）過A，F，N三點的圓與y軸交于P，Q兩點，求PQ的最小值．

Answer 1

分析：（1）要證AM⊥MF，只需證

MA

•

MF

=0，分別求出

MA

，

MF

的坐標，利用數量積的坐標運算計算即可．
（2）欲求|PQ|的范圍，需先將|PQ|用某個參數表示，再求最值，可先找到圓心坐標和半徑，再利用圓中半徑，半弦，弦心距組成的直角三角形，得到用參數表示的|PQ|，再用均值不等式求PQ的最小值．

解答：解：（1）由題意得A（-6，0），F（4，0），由準線l：x=

a2

c

=9，∴x_N=9，∴xM=

3

2

．
又M點在橢圓上，且在x軸上方，得yM=

5 3

2

，
∴

MA

=(-

15

2

，-

5 3

2

)，

MF

=(

5

2

，-

5 3

2

)．
∴

MA

•

MF

=-

75

4

+

75

4

=0．
∴AM⊥MF；
（2）設N（9，t），其中t＞0，∵圓過A，F，N三點，
∴設該圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，有

36-6D+F=0 16+4D+F=0 81+t2+9D+tE+F=0

，
解得，D=2，E=-t-

75

t

，F=-24．
∴圓心為(-1，

1

2

(t+

75

t

))，半徑r=

25+ 1 4 (t+ 75 t )2

．
∴|PQ|=2

r2-1

=2

24+(t+ 75 t )2

．
∵t＞0，∴t+

75

t

≥2

t• 75 t

=10

3

，當且僅當t=

75

t

，即當t=5

3

時取“=”．
∴|PQ|的最小值是2

99

=6

11

．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線，圓與圓錐曲線的關系，訓練了利用數量積判斷兩個向量的垂直關系，考查了利用基本不等式求最值，屬難題．