Question

【題目】已知圓和直線，直線， 都經過圓外定點．

（1）若直線與圓相切，求直線的方程；

（2）若直線與圓相交于兩點，與交于點，且線段的中點為，

求證: 為定值．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）①當直線的斜率不存在，即直線是成立，②若直線斜率存在，設直線為，由圓心到直線的距離等于半徑求解；（2）直線與曲線聯立可得，根據韋達定理，弦長公式將

用 表示，消去 即可得結果.

試題解析：（1）①若直線的斜率不存在，即直線是，符合題意．

②若直線斜率存在，設直線為，即．

由題意知，圓心（3，4）到已知直線的距離等于半徑2，

即： ,解之得 ．

所求直線方程是， ．

（2）解法一：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,

可設直線方程為

由 得．

再由

得．

∴ 得．

∴

為定值．

解法二：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,可設直線方程為

由 得． 8分

又直線CM與垂直，

由 得．

∴

，為定值．