Question

已知雙曲線過點A（-2，4）、B（4，4），它的一個焦點是F₁（1，0），求它的另一個焦點F₂的軌跡方程．

Answer 1

分析：由雙曲線的定義列出有關另一個焦點的方程，進行分類討論，由式子的幾何意義和橢圓的定義進行求解，并把不符合題意的點去掉，即可得到另一個焦點F₂的軌跡方程．

解答：解：∵雙曲線過點A（-2，4）和B（4，4），它的一個焦點是F₁（1，0），
∴|AF₁|=|BF₁|=5，
由雙曲線的定義知，||AF₁|-|AF₂||=||BF₁|-|BF₂||，即|5-|AF₂||=|5-|BF₂||，
（1）當5-|AF₂|=5-|BF₂|時，即|AF₂|=|BF₂|，
∴焦點F₂的軌跡是線段AB的中垂線，其方程為x=1（y≠0或8），
（2）當5-|AF₂|=|BF₂|-5時，即|AF₂|+|BF₂|=10＞6，
∴焦點F₂的軌跡是以A、B為焦點，長軸為10的橢圓，
∴其中心是（1，4），a=5，c=3，∴b²=25-9=16，
∴其方程為

(x-1)2

25

+

(y-4)2

16

=1（y≠0）
綜上，另一個焦點F₂的軌跡方程為：x=1（y≠0或8）或

(x-1)2

25

+

(y-4)2

16

=1（y≠0）．

點評：本題考查軌跡方程，考查學生分析解決問題的能力，由雙曲線和橢圓的定義求動點的軌跡方程是關鍵．