Question

已知向量，（其中實數y和x不同時為零），當|x|＜2時，有，當|x|≥2時，．
（1）求函數式y=f（x）；
（2）求函數f（x）的單調遞減區間；
（3）若對?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為當|x|＜2時，得•=0得到y與x的關系式；當|x|≥2時，時，得到=，聯立得到f（x）為分段函數；
（2）要求函數f（x）的單調遞減區間即分區間令y'＜0求出x的范圍即可；
（3）根據mx²+x-3m≥0解出，分區間討論x的范圍得到f（x）的最大值，讓m大于等于最大值即可求出m的范圍．
解答：解：（1）當|x|＜2時，由得，y=x³-3x；（|x|＜2且x≠0）
當|x|≥2時，由．得
∴
（2）當|x|＜2且x≠0時，由y'=3x²-3＜0，
解得x∈（-1，0）∪（0，1），
當|x|≥2時，
∴函數f（x）的單調減區間為（-1，1）；
（3）對?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0即m（x²-3）≥-x，
也就是對?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）恒成立，
由（2）知當|x|≥2時，
∴函數f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）都單調遞增
又，
當x≤-2時，
∴當x∈（-∞，-2]時，0＜f（x）≤2同理可得，當x≥2時，有-2≤f（x）＜0，
綜上所述得，對x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），f（x）取得最大值2；
∴實數m的取值范圍為m≥2．
點評：考查學生利用導數研究函數單調性的能力，學會用數量積判斷兩個向量的垂直關系，理解平行向量及共線向量滿足的條件，熟悉分段函數的解析式，理解函數恒成立時所取的條件．