Question

 

    （理）如圖，平面ADEF⊥平面ABCD，ABCD與ADEF均為矩形，且AB：AD：AF=

2：2：；P為線段EF上一點，M為AB的中點，若PC與BD所成的角為

60°.

   （1）試確定P點位置；

   （2）求二面角P—MC—D的大小的余弦值；

   （3）當AB長為多少時，點D到平面PMC的距離等于？

 

 

 

 

（文）設函數（），其中．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求函數的極大值和極小值；

（Ⅲ）當時，證明存在，使得不等式對任意的恒成立．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （理）∵AB：AD：AF=2：2：

可設AB=2，AD=2a，AF=a，并設FP=x建立如圖直角坐標系，則

A（0，0，0），B（0， 2a，0），C（2a， 2a，0），D（2a，0，0），

F（0，0，a），E（2a，0，a），M（0，2a，0），P（x，0，a）…1分

   （1）

    

………………2分

∵BD、CP所成角為60°

∴x=a，即P點為EF的中點.……………………………………4分

   （2）

    設n=（x，y，z）為平面PMC的一個法向量.

   

    ∴二面角P—MC—D的大小的余弦值為…………………………8分

   （3）設D點到平面PCM的距離為d

    

     故得當AB=3時，點D到平面PMC的距離等于.………………12分

（文）（Ⅰ）解：當時，，得，且

，．

所以，曲線在點處的切線方程是，整理

得．

（Ⅱ）解：

．

令，解得或．

由于，以下分兩種情況討論．

   （1）若，當變化時，的正負如下表：

因此，函數在處取得極小值，且

；

函數在處取得極大值，且．

   （2）若，當變化時，的正負如下表：

因此，函數在處取得極小值，且

；

函數在處取得極大值，且

．

   （Ⅲ）證明：由，得，當時，

，．

由（Ⅱ）知，在上是減函數，要使，

只要

即  　　　　　　　　①

設，則函數在上的最大值為．

要使①式恒成立，必須，即或．

所以，在區間上存在，使得對任意的 恒成立．