Question

（2012•石景山區一模）如圖，已知平面α∩β=l，A、B是l上的兩個點，C、D在平面β內，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一個動點P，使得∠APD=∠BPC，則△PAB面積的最大值是（　　）

• A．

  9 3

  2

• B．

  36

  5

• C．12
• D．24

Answer 1

分析：本題在二面角背景下求三角形的面積，需要借助直二面角的相關知識研究三角形的幾何特征，再由面積公式求出面積，由題設條件知兩個直角三角形△PAD與△PBC是相似的直角三角形，根據題設條件可得出PB=2PA，作PD⊥AB，垂足為D，令AD=t，將三角形的面積用t表示出來，再研究面積的最值選出正確選項．

解答：解：由題意平面α⊥平面β，A、B是平面α與平面β的交線上的兩個定點，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，
∴△PAD與△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．
作PM⊥AB，垂足為M，則PM⊥β，令AM=t∈R，在兩個Rt△PAM與Rt△PBM中，AM是公共邊及PB=2PA，∴PA²-t²=4PA²-（6-t）² ，解得PA²=12-4t．
∴PM=

12-4t-t 2

，即此四棱錐的高等于

12-4t-t 2

．
∴S=

1

2

×AB×PM=

1

2

×6×

12-4t-t 2

=3

16-(t +2)2

≤12．
即三角形面積的最大值為12，
故選C．

點評：本題考查與二面角有關的立體幾何綜合題，解答本題，關鍵是將由題設條件得出三角形的性質、：兩鄰邊的值有2倍的關系，第三邊長度為6，引入一個變量，將面積表示成此變量的函數，從而利用函數的最值來研究面積的最值，本題考查了函數最值的思想，轉化的思想，數形結合的思想，本題解題過程中將幾何問題轉化為代數問題求解是幾何問題中求最值的常規思想，在近幾年的高考中此類題多有出現，本題易因為沒有能建立起面積的函數而導致解題失敗．