Question

（1）已知f（x）=lg

1-x

1+x

，判斷f（x）的奇偶性
（2）已知奇函數f（x）的定義域為R，x∈（-∞，0）時，f（x）=-x²-x-1，求f（x）解析式．

Answer 1

分析：（1）先求函數的定義域，利用函數奇偶性的定義進行判斷．
（2）設x＞0，利用函數的奇偶性求f（x）的表達式即可．

解答：解：（1）要使函數有意義，則

1-x

1+x

＞0，即（1-x）（1+x）＞0，
∴（x-1）（1+x）＜0，解得-1＜x＜1，即定義域為（-1，1）關于原點對稱．
∵f(-x)=lg

1+x

1-x

=lg(

1-x

1+x

)-1=-lg

1-x

1+x

=-f(x)，
∴函數f（x）是奇函數．
（2）∵f（x）是奇函數，
∴f（0）=0，且f（-x）=-f（x）．
當x＞0時，-x＜0，∴f（-x）=-x²+x-1=-f（x），
∴f（x）=x²-x+1，x＞0．
故f（x）=

-x2-x-1， x＜0 0，                 x=0 x2-x+1 ，  x＞0

．

點評：本題主要考查函數奇偶性的判斷和應用，注意判斷函數的奇偶性必須要判斷函數的定義域是否關于原點對稱．