Question

如圖，在平面直角坐標系中，銳角、的終邊分別與單位圓交于，兩點．

（Ⅰ）如果，點的橫坐標為，求的值；
（Ⅱ）若角的終邊與單位圓交于C點，設角、、的正弦線分別為MA、NB、PC，求證：線段MA、NB、PC能構成一個三角形；
（III）探究第（Ⅱ）小題中的三角形的外接圓面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）證明略
（III）的外接圓的面積為.

(I)已知是銳角，根據三角函數的定義,可求出.
再根據求出，從而再根據兩角和的余弦公式求解即可.
(II) 依題意得，，，,因為，所以，，于是有，
下面解題的關鍵是,
同理，,這樣就證明三角形兩邊之和大于第三邊，從而說明線段MA、NB、PC能構成一個三角形.
(3) 不妨設的邊長分別為，其中角、、的對邊分別為.則由余弦定理，得：
=…..
然后再利用正弦定理，求出外接圓半徑，從而證明其外接圓面積為定值