Question

12、定義在區間[2，4]上的函數f（x）=3^x-m（m是實常數）的圖象過點（2，1），則函數F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）的值域為（　�。�

A、[2，5]

B、[1，+∞）

C、[2，10]

D、[2，13]

Answer 1

分析：先根據函數過點（2，1）求出m的值，從而求出f（x），然后求出反函數f^-1（x），求出F（x）的解析式和定義域，然后求出值域即可．

解答：解：根據函數f（x）=3^x-m（m是實常數）的圖象過點（2，1），
可知f（2）=3^2-m=1，解得m=2
∴f（x）=3^x-2
f^-1（x）=2+log₃x  （x∈[1，9]）
f^-1（x²）=2+2log₃x  （x∈[1，3]）
F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）=（2+log₃x ）²-2-2log₃x 
=（log₃x ）²+2log₃x+2  （log₃x∈[0，1]
∴F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）的值域為[2，5]
故選A

點評：本題主要考查了指數函數的反函數，以及利用換元法轉化成二次函數求值域，注意定義域的求解，屬于基礎題．