已知函數
，h（x）=2alnx，
.
（1）當a∈R時，討論函數
的單調性；
（2）是否存在實數a，對任意的
，且
，都有
恒成立，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.
（1）詳見解析；（2）不存在.
解析試題分析：(1)討論函數的單調性，在定義域內研究其導函數的符號即可.先求導函數
，因為定義域為
，故只需討論分子符號，可結合二次函數的圖象判斷，此時①需討論交點
的大小，②注意根與定義域比較，所以
需和-2和0比較大小；（2）由對稱性，不妨設
，去分母得
，構造函數
，則其在定義域內單調遞減，故
在恒成立，而
，分子二次函數開口向上，不可能永遠小于0，故不存在.
試題解析：(1)
，∴ , 的定義域為.
①當
時，在
上是減函數，在在
上是增函數；
②當
時，在
上是增函數；在
是是減函數；在上是增函數；
③當
時，在上是增函數；
④當
時，在上是增函數；在
上是減函數；在
上是增函數.
（2）假設存在實數，對任意的，且，都有恒成立，不妨設，要使，即.
令
，只要
在為減函數.
又，由題意在上恒成立，得
不存在.
考點：1、導數在單調性上的應用；2、二次函數的圖象；3、函數思想的應用.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
若函數f(x)對任意的實數x1，x2∈D，均有|f(x2)－f(x1)|≤|x2－x1|，則稱函數f(x)是區間D上的“平緩函數”．
(1)判斷g(x)＝sin x和h(x)＝x2－x是不是實數集R上的“平緩函數”，并說明理由；
(2)若數列{xn}對所有的正整數n都有|xn＋1－xn|≤
，設yn＝sin xn，求證：|yn＋1－y1|＜
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
上海某化學試劑廠以x千克/小時的速度生產某種產品（生產條件要求
），為了保證產品的質量，需要一邊生產一邊運輸，這樣按照目前的市場價格，每小時可獲得利潤是
元.
(1)要使生產運輸該產品2小時獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；
(2)要使生產運輸900千克該產品獲得的利潤最大，問：該工廠應該選取何種生產速度？并求最大利潤.
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的極值點；
上的根的個數.
，點
在曲線
:
上.
，求點
的最小值.
為常數）.
的定義域；
，
,求函數
的圖像恒在直線
的上方，求實數
的取值范圍.
,
,
.
與
的大小；
，證明：
；
的圖象為曲線
，曲線
處的切線斜率為
，若
，且存在實數
，使得
，求實數
的取值范圍.
對任意實數
均有
，且當
時
；
時， 對
時恒有
，求實數
的取值范圍.