Question

【題目】已知函數f（x）=alnx﹣x2+1.

（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為4x﹣y+b=0，求實數a和b的值；

（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；

Answer 1

【答案】(Ⅰ)a=6，b=﹣4.(Ⅱ)答案見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意得到關于實數a,b的方程組，求解方程組可得a=6，b=﹣4.

(2)首先求解導函數，然后對參數a分類討論可得：

當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上是減函數，

當a＞0時，f（x）在上是增函數，在上是減函數.

試題解析：

（Ⅰ）f（x）=alnx﹣x2+1求導得

在x=1處的切線方程為4x﹣y+b=0，f′（1）=a﹣2=4，得a=6，4﹣f（1）+b=0；b=﹣4.

（Ⅱ）

當a≤0時，f′（x）≤0在（0，+∞）恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是減函數，

當a＞0時，（舍負），f（x）在上是增函數，在上是減函數.