Question

已知橢圓的左、右焦點分別為、，為原點.
（1）如圖1，點為橢圓上的一點，是的中點，且，求點到軸的距離；

（2）如圖2，直線與橢圓相交于、兩點，若在橢圓上存在點，使四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）先設點的坐標，并利用點的坐標來表示點的坐標，利用以及點在橢圓上列方程組求解點的坐標，從而求出點到軸的距離；（2）先設點、，利用為平行四邊形，得到，將直線方程與橢圓方程聯立，結合韋達定理與點在橢圓上這一條件，列相應等式求出實數的取值范圍.
試題解析：（1）由已知得、，
設，則的中點為，
，，即，
整理得，①，又有，②
由①②聯立解得或（舍）
點到軸的距離為；
（2）設，，，
四邊形是平行四邊形
線段的中點即為線段的中點，即，，
點在橢圓上，，
即，
化簡得，
由得，
由得，④
且，代入③式得，
整理得代入④式得，又，或，
的取值范圍是.