Question

經過橢圓

x2

2

+y2=1的一個焦點作傾斜角為45°的直線l，交橢圓于A、B兩點．設O為坐標原點，則

OA

•

OB

等于

-

1

3

．

Answer 1

分析：由橢圓

x2

2

+y2=1可求橢圓的焦點為F（±1，0），不妨設所作直線l過焦點（1，0），故可得直線L：y=x-1，聯立

y=x-1 x2 2 +y2=1

可求A，B．然后由

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂，代入可求

解答：解：∵橢圓

x2

2

+y2=1中a=

2

，b=1
∴c=1
橢圓的焦點為F（±1，0）
不妨設所作傾斜角為45°的直線l過焦點（1，0），故直線L：y=x-1
聯立

y=x-1 x2 2 +y2=1

消去y可得，3x²-4x=0
解方程可得，x1=0，x2 =

4

3

代入直線y=x-1可得，y₁=-1，y2=

1

3

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-

1

3

故答案為：-

1

3

點評：本題主要考查了橢圓性質的應用，直線與橢圓的相交關系的應用，向量數量積的坐標表示等知識的綜合應用，屬于綜合性試題