Question

已知拋物線y=ax²（a≠0）的準線方程為y=-1．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）設F是拋物線的焦點，直線l：y=kx+b（k≠0）與拋物線交于A，B兩點，記直線AF，BF的斜率之和為m．求常數(shù)m，使得對于任意的實數(shù)k（k≠0），直線l恒過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將y=ax²，化為標準方程為x2=

1

a

y，利用拋物線y=ax²（a≠0）的準線方程，即可求得拋物線C的方程；（Ⅱ）直線方程與拋物線方程聯(lián)立

y=kx+b x2=4y

，得x²-4kx-4b=0．利用韋達定理及直線AF，BF的斜率之和為m，可得直線l：y=kx+

k

m-k

，進而令xk²-（mx+y+1）k+my=0對任意的k（k≠0）恒成立，即可求得直線l過定點．

解答：解：（Ⅰ）將y=ax²，化為標準方程為x2=

1

a

y．
∴拋物線C的準線方程為：y=-

1

4a

．  
∵拋物線y=ax²（a≠0）的準線方程為y=-1                      …（3分）
∴-

1

4a

=-1，解得a=

1

4

．
∴拋物線C的方程是x²=4y．                                    …（6分）
（Ⅱ）F（0，1），設A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，
由

y=kx+b x2=4y

，得x²-4kx-4b=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，△=16k²+16b＞0．                  …（8分）
kAF+kBF=

x 2 1 4 -1

x1

+

x 2 2 4 -1

x2

=

x 2 1 x2-4x2+x22x1-4x1

4x1x2

=

(x1+x2)(x1x2-4)

4x1x2

=

4k(-4b-4)

4(-4b)

=

k(b+1)

b

=m．                               …（10分）
∴b=

k

m-k

．∴直線l：y=kx+

k

m-k

．
令xk²-（mx+y+1）k+my=0對任意的k（k≠0）恒成立．             …（12分）
則

x=0 mx+y+1=0 my=0

，解得

x=0 y=-1 m=0

．
所以，m=0，直線l過定點（0，-1）．                           …（15分）

點評：本題考查拋物線的標準方程與性質，考查直線與拋物線的位置關系，考查直線恒過定點，解題的關鍵是求出直線方程，利用方程對任意的k（k≠0）恒成立，建立方程組．