Question

【題目】已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）若不等式在區間上恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）．

【解析】

（1）函數求導得，根據根的大小，分 ，， 三種情況討論求解.

（2）根據不等式在區間上恒成立，當時，恒成立，當時，轉化為，恒成立，令，利用導數法求其最小值即可.

（1），

即，當時，在上單調遞增；

當，即時，由，得或，由，得，

所以在區間和上單調遞增；在區間上單調遞減；

當，即時，由，得或，由，得，

所以在區間和上單調遞增；在區間上單調遞減．

綜上所述：當時，在上單調遞增；

當時，在區間和上單調遞增；在區間上單調遞減；

當時，在區間和上單調遞增；在區間上單調遞減．

（2）因為不等式在區間上恒成立，

所以當時，恒成立，當時，，

令，

則，由（1）得，當時，在上單調遞增，

又因為，所以時，；時，，

所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

則，

所以．

綜上，的取值范圍為．