Question

（2011•重慶模擬）給定兩個長度均為2的平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角為150°．點C在以O為圓心的圓弧

AB

上運動，如圖所示．若

OC

=

3

3

x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，則x+y的最大值是（　�。�

• A．2

  7

• B．

  19

• C．2
• D．4

  7

Answer 1

分析：根據題意，建立坐標系，設出A，B點的坐標，并設∠AOC=α，則向量

OC

=(2cosα，2sinα)，且

OC

=

3

3

x

OA

+y

OB

，由向量相等，得x，y的值，從而求得x+y的最值．

解答：解：建立如圖所示的坐標系，
則A（2，0），B（2cos150°，2sin150°），
即B（-

3

，1）．
設∠AOC=α，則

OC

=（2cosα，2sinα）．
∵

OC

=

3

3

x

OA

+y

OB

∴（

3

3

x，0）+（-

3

2

y，

1

2

y）=（cosα，sinα）．
∴

3 3 x- 3 y 2 =cosα 1 2 y=sinα

∴

x=3sinα+ 3 cosα y=2sinα

∴x+y=5sinα+

3

cosα=2

7

sin（α+θ），（此時有tanθ=

3

5

，θ是個銳角）．
∵0°≤α≤150°．∴α+θ可取到90°．
∴x+y有最大值2

7

，
故選A

點評：本題是向量的坐標表示的應用，結合圖形，利用三角函數的性質，容易求出結果，本題解題的關鍵是建立坐標系，利用向量的坐標表示進行計算，本題綜合性較經強．