Question

定義在（-1，1）上的函數f（x），（i）對任意x，y∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；（ii）當x∈（-1，0）時，f（x）＞0，回答下列問題．
（1）判斷f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并說明理由．
（2）判斷函數f（x）在（0，1）上的單調性，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲說明f（x）在（-1，1）上是奇偶性，只需說明f（-x）與f（x）的關系，先令x=y=0求出f（0），然后令y=-x，即可求出所求；
（2）先設0＜x₁＜x₂＜1，然后作差求f（x₁）-f（x₂），，根據題目條件進行化簡變形判定其符號，根據函數單調性的定義即可判定．

解答：解：（1）令x=y=0?f（0）=0，令y=-x，則f（x）+f（-x）=0?f（-x）=-f（x）?f（x）在（-1，1）上是奇函數．
（2）設0＜x₁＜x₂＜1，則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(

x1-x2

1-x1x2

)，而x₁-x₂＜0，0＜x1x2＜1?

x1-x2

1-x1x2

＜0?f(

x1-x2

1-x1x2

)＞0．即當x₁＜x₂時，f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上單調遞減．

點評：本題主要考查了函數的單調性的判定與證明，以及函數奇偶性的判定，函數的奇偶性是函數在定義域上的“整體”性質，單調性是函數的“局部”性質，屬于基礎題．