Question

某數學老師對本校2013屆高三學生的高考數學成績按1:200進行分層抽樣抽取了20名學生的成績，并用莖葉圖記錄分數如圖所示，但部分數據不小心丟失，同時得到如下所示的頻率分布表：

分數段（分）	[50,70)	[70,90)	[90,110)	[110,130)	[130,150)	總計
頻數				b
頻率	a	0.25

（1）求表中a，b的值及分數在[90,100)范圍內的學生人數，并估計這次考試全校學生數學成績的及格率（分數在[90,150）內為及格）：
（2）從成績在[100,130)范圍內的學生中隨機選4人，
設其中成績在[100,110)內的人數為X，求X的分布列及數學期望.

Answer 1

（1）a=0.1，b=3；4；65%.
（2）分布列為

X	1	2	3	4
P

E(X)=2.2

解析試題分析：（1）由[50,70)范圍的頻數，計算出該范圍內的頻率a，首先計算出[70,90)范圍內的頻數，然后得出[80,90)，即可求出[90,100)范圍內的學生人數，計算出[90,100)范圍內的學生人數，然后除以20就是及格率.（2）寫出隨機變量X的所有可能取值，然后計算出相應的概率，列表即可的分布列，最后根據期望值公式計算期望值即可.
試題解析：（1）由莖葉圖可知分數在[50,70)范圍內的有2人，在[110,130) 范圍內的有3人，
∴a= b=3；分數在[70,90)內的人數20×0.25=5，結合莖葉圖可得分數在[70,80)內的人數為2，所以分數在[90,100)范圍內的學生人數為4，故數學成績及格的學生為13人，所以估計這次考試全校學生數學成績的及格率為 ×100%=65%.
（2）由莖葉圖可知分數在[100,130)范圍內的有7人，分數在[100,110)范圍內的有4人，則隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.相應的概率為：P(X=1)== ；P(X=2)== ；P(X=3)==；P(X=4)==.
隨機變量X的分布列為

X	1	2	3	4
P

E(X)=1×+2×+3×+4×=2.2
考點：1.莖葉圖的含義以及頻率和頻數的計算；2.隨機變量的分布列和數學期望.