Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：若，不等式成立.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)（2）（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）求導(dǎo)可得,轉(zhuǎn)化問(wèn)題為的變號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù),分別討論,,的情況即可；

（2）轉(zhuǎn)化問(wèn)題為在上恒成立,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值,進(jìn)而求解；

（3）由（2）可得恒成立,即,則欲證,只需證,設(shè),進(jìn)而利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值大于等于0即可.

（1）解:由題,

設(shè),令,即方程,,

當(dāng)時(shí),,則,此時(shí)沒(méi)有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí),,設(shè)方程兩根為,,不妨設(shè),

則,,則,

當(dāng)或時(shí),；

當(dāng)時(shí),,

此時(shí),是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),

當(dāng)時(shí),,設(shè)方程兩根為,,

則,,所以,,

所以當(dāng)時(shí),,故沒(méi)有極值點(diǎn),

綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí),函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn).

（2）解:由題,在上恒成立,

則在上恒成立,

即在上恒成立,

設(shè),

則,

因?yàn)?/span>,

當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減；當(dāng),,則單調(diào)遞增；

所以,

所以

（3）證明:由（2）知,所以恒成立,

即,

欲證,

只需證,

設(shè),則,

當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞增,

所以,即,

所以當(dāng)時(shí),不等式成立.