Question

已知在區間[1，2]上為增函數，則a的取值范圍是________．

Answer 1

（1，4]
分析：把函數f（x）分解為兩個基本函數y=log_at與t=4x+，因為f（x）在區間[1，2]上為增函數，所以兩函數y=log_at與t=4x+須同增或同減，
分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論再利用導數即可得到答案．
解答：可看作由y=log_at與t=4x+復合而成的，x∈[1，2]時，4x＞0．
①當a＞1時，y=log_at單調遞增，因為f（x）單調遞增，則須有t=4x+，x∈[1，2]，單調遞增，
所以t′=4-≥0即a≤4x²在x∈[1，2]上恒成立，所以a≤4×1²=4，則1＜a≤4；
②當時，y=log_at單調遞減，因為f（x）單調遞增，則須有t=4x+，x∈[1，2]，單調遞減，
所以t′=4-≤0即a≥4x²在x∈[1，2]上恒成立，所以a≥4×2²=16，與0＜a＜1矛盾．
綜上，a的取值范圍是（1，4]．
故答案為：（1，4]．
點評：本題考查復合函數單調性的判斷問題，應注意其判斷方法：同增異減．