Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，AB=AD= BC， = ．
（1）求證：DE⊥平面PAC；
（2）若直線PE與平面PAC所成角的正弦值為 ，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，

設AB=AD= BC=2，

則D（0，2，0），E（2，1，0），A（0，0，0），C（2，4，0），

=（2，﹣1，0）， =（2，4，0），

=4﹣4+0=0，∴DE⊥AC，

∵PA⊥平面ABCD，DE平面ABCD，∴DE⊥PA，

∵PA∩AC=A，∴DE⊥平面PAC

（2）解：設P（0，0，t），（t＞0）， =（0，0，t）， =（2，4，0）， =（2，1，﹣t），

設平面PAC的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=2，得 =（2，﹣1，0），

∵直線PE與平面PAC所成角的正弦值為 ，

∴ = = ，解得t=1，或t=﹣1（舍），

∴P（0，0，1）， =（2，4，﹣1）， =（0，2，﹣1），

設平面PCD的法向量 =（a，b，c），

則 ，取b=1，得 =（﹣1，1，2），

設二面角A﹣PC﹣D的平面角為θ，

則cosθ= = = ．

二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值為 ．

【解析】（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明DE⊥平面PAC．（2）求出平面PAC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)．